Binomial Distribution (B₍n,p₎) ○◂｜_append｜___｜20260628182425-01-•

Binomial distribution	…	…	…
Probability mass function	…	…	…
Cumulative distribution function	…	…	…
Notation	$B(n,p)$	…	…
Parameters	$n\in \{0,1,2,\dots \}$ – number of trials $p\in [0,1]$ – success probability for each trial $q=1-p$	…	…
Support	$k\in \{0,1,\dots ,n\}$ – number of successes	…	…
PMF	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$	…	…
CDF	$I_q(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$ (the regularized incomplete beta function)	…	…
Mean	$np$	…	…
Median	$\lfloor np\rfloor$ or $\lceil np\rceil$	…	…
Mode	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ or $\lceil (n+1)p\rceil -1$	…	…
Variance	$npq=np(1-p)$	…	…
Skewness	$\frac{q-p}{\sqrt{npq}}$	…	…
Excess kurtosis	$\frac{1-6pq}{npq}$	…	…
Entropy	$\frac{1}{2}{\log }_2(2\pi enpq)+O\left(\frac{1}{n}\right)$ in shannons. For nats, use the natural log in the log.	…	…
MGF	$(q+p{e}^t{)}^n$	…	…
CF	$(q+p{e}^{it}{)}^n$	…	…
PGF	$G(z)=[q+pz{]}^n$	…	…
Fisher information	$g_n(p)=\frac{n}{pq}$ (for fixed $n$)	…	…

(echo:: @ ᯤ)